Реакция самолета на отклонение органов управления тангажом по гармоническому закону в " короткопериодическом движении

Частотные характеристики самолета

Реакция самолета на гармонический сигнал характеризует его способность «ходить» за рычагами управления и определять ка­чество таких важных маневров, как прицеливание, заход на посадку, полет в строю и т. п.

Пусть у самолета, совершающего прямолинейный установив­шийся горизонтальный полет, начиная с некоторого момента времени, руль высоты (стабилизатор, элевоны) начинает отклоняться по гармо­ническому закону с частотой со и амплитудой, равной единице; Д6В = sin cot.

В этом случае возмущенное короткопериодическое движение будет описываться неоднородными дифференциальными уравне­ниями (16.45) и будет слагаться из собственной и вынужденной со­ставляющих. Собственное движение определяется как общее решение однородных уравнений (без правой части). Для устойчивого самолета это движение быстро затухает, и далее остается только вынужден­ная составляющая.

Ё дальнейшем будем рассматривать только вынужденную состав­ляющую возмущенного движения, так как собственное движение было рассмотрено ранее.

Изменение перегрузки (угла атаки) в вынужденном движении будет также иметь гармонический характер, но будет отличаться по амплитуде и по фазе. Так перегрузка в вынужденном движении будет изменяться по закону

Апуа (t) = A sin (Ы + у), (16.69)

где А — амплитуда вынужденных колебаний; со — круговая частота вынужденных колебаний; у — сдвиг по фазе.

Аналогичное выражение можно получить и для угла атаки. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний определяется по ча­стотной функции W (Ісо).

Заменяя в (16.54) р = ш, получим^ частотную функцию по пере­грузке

Wn (tco) = j _ Ti^2 + 2grcoj. = і — — ер2 + ‘ (16.70)

где *ф = —— = Тсо— относительная частота вынужденных коле­ги

баний.

2*с1Ф (1 —ф2)а+ 4£ai|)a *

Чтобы избавиться от комплексной величины в знаменателе, умножим числитель и знаменатель Wn (tco) на сопряженную вели­чину (1—ф2) — 2|фі, тогда

(16.72)

Подставляя (16.72) в (15.41) и (15.42), получим амплитуду и фазу вынужденных колебаний Апуц, выраженных через относительную частоту и относительное демпфирование — амплитудную частотную характеристику (АЧХ)

А=—……. ffs… (16.73)

К(1 — ф*)а -4- 4£*ф>* * v *

фазовую частотную характеристику (ФЧХ)

, у = _агс18г^. (16.74)

Эти характеристики можно представить графически.

По этим формулам можно построить и амплитудно-фазовую частотную характеристику.

На рис. 16.2 приведена АФЧХ при | = const. Длина вектора, проведенного из начала координат в точку на АФЧХ, равіна ампли­туде вынужденных колебаний при соответствующей частоте, а угол между вектором и действительной полуосью — сдвиг этих колебаний по фазе.

Из (16.72) … (16.74) при | = const для различных чр получим:

Таблица 16.1

	Re (to)	1ш (to)	А	V
0	Кс.	0	Кс	0
1	0	-KJ21	Кс! 26	—п/2
оо	0	0	0	—Л

Отсюда видно, что при изменении относительной частоты от О до оо вектор Wn (ш) поворачивается по часовой стрелке (в отрица­тельном направлении) на угол —я, т. е. сдвиг по фазе изменяется от О до —180°. При этом амплитуда колебаний перегрузки (угла атаки) изменяется от Кс (Ка) до нуля, переходя через максимум.

При изменении относительного коэффициента демпфирования | будут меняться амплитудно-фазочастотные характеристики. .С умень­шением і кривая Wn (гео) охватывает все большую часть нижней полу­плоскости и при | = 0 разрывается на две ветви, лежащие на действи­тельной оси. Точка разрыва соответствует частоте ф — 1, т. е. со = = сок (рис. 16.3).

Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно по­строить раздельно по формулам (16.73) и (16.74). Вид этих характе­ристик при различных значениях £ приведен на рис. 16.4 и 16.5.

Из частотных характеристик видно, что:

гармоническое отклонение руля высоты А6„ — sin соt с весьма малой частотой со вызывает вынужденные колебания перегрузки (угла атаки) с амплитудой в Кс (-Ка) раз большей амплитуды колеба­ния А6В (см. АЧХ, рис. 16.4), при этом*у мала;

колебания перегрузки практически не будут отставать от коле­баний А6„ (см. ФЧХ, рис. 16.5);

при отсутствии демпфирования (| = 0) на резонансной частоте вынужденных колебаний со = сор = сок, или ф = 1, амплитуда коле­баний Атах = оо;

при наличии демпфирования резонансная частота юр, при ко­торой амплитуда колебаний достигает максимального значения, равна Юр = юк -f — 2£2 = тАок — 2Л£, при этом А^,* да Ас/2£. Следо­вательно, отклонение руля высоты с частотой сор или близкой к ней при слабом демпфировании может привести к весьма большим (недопустимым) перегрузкам (углам атаки);

по АЧХ можно судить о величине амплитуды вынужденных коле­баний перегрузки (угла атаки). Если амплитуда слишком велика, то самолет будет строгим в управлении, что усложняет пилотирова­ние. Если амплитуда слишком мала, то для получения необходимой величины Апуа требуется отклонять рули на больший угол, самолет при маневре тяжел в управлении. Отсюда возникает требование Amin ^ А < Атах;

при отсутствии демпфирования (£ = 0) в диапазоне частот 0 « с ф « 1 сдвиг вынужденных колебаний перегрузки по фазе отсут­ствует (у = 0), а на частоте ф = 1 он скачком меняется от 0 до —180°. При наличии демпфирования (£ =j= 0) изменение сдвига по фазе плавное, причем с увеличением частоты сдвиг по фазе увеличи­вается (см. ФЧХ, рис. 16.5). Следует отметить, что для всех | Ф 0

при ф = 1 запаздывание по фазе одно и то же —g-;

по ФЧХ можно судить о слежении самолета за отклонением ру­лей, т. е. о времени запаздывания изменения параметров движения (АПуа, Да) ОТ отклонения рулей Д^вап = у/ю. Чем меньше А*вап. тем лучше управляемость. Отсюда выдвигается-требование у < уп, ах.

Из анализа частотных характеристик можно сделать следующий вывод.

Качество реакции самолета на гармонические отклонения руля определяется амплитудой и фазой вынужденных колебаний пара­метров движения самолета. Чем меньше будут изменения амплитуды и меньше фазовые искажения в рабочем диапазоне частот со, тем точ­нее самолет будет «ходить» за рычагами управления, тем легче лет­чику управлять самолетом.

Рис. 16.6. Границы допустимых значений £ и ф

Требования — у < "Ушах И А min < А < А шах накладывают ограничения на | и ф = to/toK, а следовательно, и на параметры самолета, от которых они зависят (хт, Лг. 0 и др.). С помощью формул (16.73) и (16.74) можно построить в координатах ф, | кривые при Vmax = const ь Amn = consta, Amax = COHstg и выявить область допустимых значений ф и £, обеспечивающих заданное качество ре­акции самолета на отклонение рулей по гармоническому закону. Если же в этой плоскости провести ли­нии ї-max = const4 и £mln = const5, обеспечивающие высокое каче­ство переходных процессов при А6„ (0 == 1, то получим область допустимых значений фи обеспечивающих заданные характери­стики управляемости при ступенчатом и гармоническом отклоне­ниях руля высоты (рис. 16.6).

При проектировании самолета, зная характерные значения ча­стоты отклонения руля со, потребные для выполнения расчетных ма­невров, можно по допустимым ф и ^ определить необходимую вели­чину опорной частоты сок = со/ф и коэффициента демпфирования hK = = |сок, которые могут быть обеспечены выбором параметров гори­зонтального оперения (элевонов), положения центра масс и др.

Граничные линии могут быть использованы для определения в первом приближении передаточных чисел автоматов демпфирова­ния и устойчивости, если необходимые характеристики устойчивости и управляемости не могут быть обеспечены без автоматов.

В заключение отметим, что помимо рассмотренных частотных ха­рактеристик в настоящее время применяются логарифмические частотные характеристики, особенно при проектировании систем автоматического управления самолетом.